Un problema di convergenza di speranze condizionali

Siano assegnati due spazi misurabili $(E,{cal E})$, $(F,{cal F})$, uno spazio probabilizzato $(Omega,{cal A},P)$ e, su di esso, una variabile aleatoria $X$ a valori in $(E,{cal E})$ e una variabile aleatoria $Y$ a valori in $(F,{cal F})$. Per ogni intero n, sia assegnato uno spazio probabilizzato $(Omega_n,{cal A}_n,P_n)$ e, su di esso, una variabile aleatoria $X_n$ a valori in $(E,{cal E})$ e una variabile aleatoria $Y_n$ a valori in $(F,{cal F})$. Ci proponiamo di illustrare condizioni sufficienti affinche`, per ogni funzione $f$ appartenente ad un opportuna classe, si abbia convergenza delle speranze condizionali di $f(X_n)$ dato $Y_n$ (secondo $P_n$) verso la speranza condizionale di $f(X)$ dato $Y$ (secondo $P$).