Metodi numerici per Quantificazione dell'Incertezza di PDE con parametri aleatori

Quando si costruisce un modello matematico per descrivere il comportamento di un sistema fisico, si deve spesso affrontare il problema che alcuni parametri del modello (coefficienti, forzanti, condizioni al bordo, forma del dominio etc) non sono noti esattamente, ma al contrario sono affetti da un certo grado di incertezza, e quindi descritti in maniera naturale in termini di variabili aleatorie/campi aleatori. La necessita` di stimare l'affidabilita` delle simulazioni numeriche tenendo conto di tale aleatorieta` ha portato all'introduzione di tecniche di Quantificazione dell'Incertezza (Uncertainty Quantification) nel calcolo scientifico. Obiettivi classici di questo tipo di analisi sono a) il calcolo di indici statistici (ad es media e varianza) per quantita` di interesse legate alla soluzione dell'equazione considerata (ad esempio, il valore della soluzione in un punto, il suo integrale sul dominio di calcolo, o il flusso in uscita) b) il miglioramento della descrizione statistica dei parametri del modello basandosi su osservazioni sperimentali di tali quantita` di interesse. Il primo tipo di analisi e` tipicamente conosciuto come "Forward uncertainty Quantification", mentre il secondo "Inverse Uncertainty QUantification". Uno degli ostacoli principali in UQ e` rappresentato dal fatto che in molte applicazioni sono necessarie numerose variabili aleatorie (a volte dell'ordine di decine o centinaia) per ottenere rappresentazioni accurate dell'incertezza del modello. Gli schemi numerici adottati per eseguire l'analisi di UQ devono quindi essere tali da limitare il piu` possibile il peggioramento della performance quando il numero di parametri aumenta - un fenomeno noto come "curse of dimensionality". In questo seminario introdurro` le basi della metodologie di UQ per PDE con parametri aleatori e discutero` la loro applicazione a qualche problema (semplificato) di interesse ingegneristico (stampa 3d, flussi in mezzi porosi, bacini sedimentari)