Una caratterizzazione di Fano 4-folds tramite fibrazioni coniche

Sia X una varietà proiettiva, complessa, liscia e Fano di dimensione arbitraria n. Una fibrazione conica f : X -> Y è una contrazione di tipo fibrato con fibre di dimensione uno. Denotiamo con N_1(X) lo spazio vettoriale reale degli 1-cicli a coefficienti in R, modulo equivalenza numerica, la cui dimensione è il numero di Picard \rho(X). Dato un divisore primo D in X, l'inclusione i : D -> X induce il pushforward di 1-cicli i_* : N_1(D) -> N_1(X). Consideriamo N_1(D;X) := i_*(N_1(D)) in N_1(X), quindi il sottospazio lineare di N_1(X) generato dalle classi di equivalenza numerica di curve contenute in D. Casagrande ha introdotto il seguente invariante, chiamato Lefschetz defect: Delta_X := max {codimN_1(D;X), con D divisore primo}. In questo seminario, osserveremo dapprima che data una fibrazione conica f : X -> Y con r := \rho(X) - \rho(Y) > 1, sussiste un legame tra r e Delta_X. Ad esempio, è possibile trovare dei lower-bounds per Delta_X in termini di r. Successivamente ci focalizzeremo sul caso in cui n = 4 e Delta_X = 3, presentando un risultato di caratterizzazione in termini di Delta_X di Fano 4-folds che ammettono una fibrazione conica f : X -> Y con \rho(X)-\rho(Y) = 3. Come conseguenza, osserveremo che tali varietà sono razionali.