Seminari del Dipartimento di Matematica

Seminario del 2007

Luca Bussolari - Stevens Institute of Technology - USA

Biliardi caotici con bordi quasi piatti.

nell'ambito della serie: SEMINARI DI FISICA MATEMATICA

fisica matematica

Con il termine biliardo si indica il sistema dinamico di una particella puntiforme libera all'interno di un dominio (detto tavola) con collisioni elastiche ai bordi. Nello studio dei sistemi dinamici l'ingrediente principale per produrre comportamento caotico è dato dall'iperbolicità. L'iperbolicità nei biliardi è stata dimostrata inizialmente per tavole bidimensionali con bordi dispersivi (Sinai '70, Sinai-Bunimovich '73) e successivamente per alcuni biliardi con lati focalizzanti (Bunimovich '79). Nel 1986 Wojtkowski ha applicato la tecnica dei coni invarianti ai biliardi bidimensionali riconducendo la verifica della positività dell'esponente di Lyapunov ad un problema di design di ottica. Come diretta conseguenza di questa applicazione egli ha fornito le regole pratiche (successivamente modificate ed estese da Donnay '91, Bunimovich '92 e Markarian '94) per la costruzione di biliardi iperbolici con bordo misto. Secondo queste regole, per essere iperbolico, un biliardo con un lato focalizzante di curvatura quasi nulla deve avere un'area molto grande. Nel seminario si introdurranno le nozioni principali della tecnica dei coni invarianti. Successivamente verrà presentato un nuovo modello di biliardo che, pur avendo bordi focalizzanti con curvatura piccola a piacere, non richiede un'arbitraria espansione della superficie della tavola.