La ricerca di una definizione di funzione regolare sui quaternioni che estendesse la nozione di funzione olomorfa di una variabile complessa ha prodotto teorie differenti. L'esempio sicuramente più conosciuto è quello delle funzioni Fueter regolari, introdotte dal matematico svizzero Fueter negli anni 30 del secolo scorso. Più recentemente, nel 2006, Gentili e Struppa, ispirandosi ad un lavoro di Cullen del 1965, hanno dato la nuova definizione di funzione slice regolare, che ha dato vita ad una teoria piuttosto ricca, e tuttora in grande sviluppo. In questo seminario, dopo aver introdotto la classe delle funzioni slice regolari ed averne mostrato alcune proprietà fondamentali, ci concentreremo su risultati di teoria geometrica sulla palla unitaria dei quaternioni. In particolare vedremo come alcuni risulati classici si siano potuti estendere in questo nuovo ambito.