Il gruppo del vertice tropicale (introdotto da Kontsevich e altri) è generato da una classe di simplettomorfismi formali di C* x C*. Esso gioca un ruolo importante in alcuni problemi di geometria algebrica e fisica matematica, e può essere studiato con varie tecniche. Esistono approcci basati sull'enumerazione di curve razionali, rispettivamente sulla topologia di certi spazi di rappresentazioni. Darò un'introduzione elementare a questi risultati, menzionando una particolare dualità ottenuta in collaborazione con M. Reineke e T. Weist. Nella seconda parte vorrei approfondire una applicazione del vertice tropicale ad una equazione di tipo "ansatz di Bethe termodinamica" (lavoro in corso con S. A. Filippini). Alcuni lavori in ambito fisico-matematico prevedono che questa sia strettamente legata alla geometria di una classe di fibrati di Higgs.