Seminari del Dipartimento di Matematica

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Seminario del 2014

Aprile

2014

Dott. Guido Gherardi

Né carne né pesce. Macchine di Turing e analisi reale.

SEMINARIO INTERDISCIPLINARE

ABSTRACT: l’analisi computazionale (computable analysis) potrebbe essere considerata come un “oggetto estraneo” al corpus della matematica classica, e al contempo non soddisfare i criteri di effettività o di immediata applicabilità richiesti dai matematici costruttivi o dagli analisti numerici. Eppure ha fornito negli ultimi anni strumenti utili per la dimostrazione di nuovi risultati in topologia classica e teoria degli insiemi, in particolare per quanto riguarda lo studio della discontinuità delle funzioni Borel-misurabili. Inoltre, alcuni recenti sviluppi hanno consentito di correlare il concetto di numero reale “random”, così come definito in teoria della ricorsività, e quello di funzione reale differenziabile. Più precisamente, l’analisi computazionale ha riconsiderato alcuni classici teoremi di analisi reale e teoria della misura riguardanti specifiche proprietà di derivabilità e ne ha formulato nuove versioni costituenti, per certi aspetti, “miglioramenti” degli enunciati originali. A titolo di esempio citiamo il Teorema di Lebesgue: ogni funzione non decrescente f:[0,1]-->R è differenziabile su tutti i reali al di fuori di un insieme di misura nulla. Questo enunciato non specifica la natura dell’insieme di eccezioni, il quale oltretutto è dipendente dalla scelta di f. Recentemente V. Brattka, J. Miller e A. Nies, sviluppando alcune ricerche preliminari di O. Demuth, hanno ottenuto una versione “migliorata” del classico risultato di Lebesgue: un numero reale z in [0,1] è “computably random” se e solo se ogni funzione reale computabile non decrescente f:[0,1]-->R è differenziabile in z. Si noti come il teorema classico di Lebesque sia un enunciato condizionale, mentre quello di Brattka, Miller e Nies fornisca una precisa caratterizzazione equivalente del concetto di differenziazione per un particolare tipo di funzioni. Inoltre viene individuato un ben determinato insieme di misura nulla che contenga tutte le le eccezioni possibili (quello dei numeri non computably random), aspetto tralasciato dall’originario Teorema di Lebesgue. Questo insieme risulta per di più essere del tutto indipendente dalla scelta di f. Simili risultati sono stati ottenuti anche per altri enunciati tradizionali inerenti il concetto di derivazione, quali il Teorema di Denjoy-Young-Sacks e quello di Differenziazione di Lebesgue, da un lato, ed alternativi concetti di randomness, quali Martin-Loef e Schnorr, dall’altro. Anche questi risultati saranno oggetto di presentazione nel corso del seminario.

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