Seminari periodici
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA

Topics in Mathematics 2018/2019

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Organizzato da: Giovanni Cupini e Giovanni Mongardi

Seminari passati

Da uno spazio vettoriale V si ricava il sistema dei sottospazi lineari L, ordinato per inclusione, e l'anello degli endomorfismi R. Escludendo dim(V)<3, e con cura se dim(V)=3, seguendo von Staudt da L si ricostruisce V, e seguendo Birkhoff / Menger si caratterizza L, ma NON si ha una equivalenza. Generalizzando a moduli (o oggetti abeliani) V tali che ogni endomorfismo ha nucleo e immagine sommandi diretti, seguendo von Neumann si ha una equivalenza tra R e L, che si caratterizzano come anelli con inversa generalizzata (ogni x ha un y tale che xyx=x) e reticoli modulari complementati, con un sistema di unità matriciali di ordine n>2 in R e una base omogenea di ordine n in L (arguesiano se n=3). Il contesto generale chiarisce che V si ricostruisce solo a meno di equivalenze di Morita. L'equivalenza di von Neumann è archetipica per studiare altri casi. Due sono notevoli: [1] Partendo da uno spazio di Hilbert H, si ha una equivalenza tra gli anelli con involuzione A di operatori lineari continui tali che A=A'' (dove X' indica l'anello degli operatori che commutano con ogni x in X) e gli associati poset con involuzione P(A) delle proiezioni (idempotenti autoaggiunti, ordinati per divisibilità ef=e, con 1-e ortocomplemento di e), sempre escludendo i casi in cui una immagine omomorfa sia del tipo escluso sopra per V. Per i fondamenti logici della meccanica quantistica (i casi esclusi hanno intepretazione logico - quantistica della loro esclusione), von Neumann era particolarmente interessato al sottocaso indecomponibile (e=0,1 le uniche proiezioni che danno una decomposizione diretta) e ``finito'' (xy=1 implica yx=1 in A, ovvero P(A) modulare): von Neumann caratterizza P(A) come geometria continua con ortogonalità che permette libera mobilità e univocamente determina una probabilità di transizione; A è l'anello degli elementi limitati (sottoanello generato dalle proiezioni) dentro l'anello R associato a L=P(A). [2] Altri tipi di moduli (o oggetti abeliani) V ammettono una equivalenza come sopra, per esempio il caso di Baer - Inaba - J\'onsson / Monk dei moduli su anelli artiniani a ideali principali, caso che include i gruppi abeliani finiti e gli spazi vettoriali finito dimensionali con l'azione di una trasformazione lineare o antilineare. Se l'equivalenza per un singolo V è rara, accade invece sempre che una catagoria abeliana di vari V si ricostruisca dal reticolo associato. Il risutato finale (combinando Freyd - Mitchell per categorie abeliane e il teorema di G. Hutchinson per i reticoli) è che tre teorie in tre diversi linguaggi permettono di fare le stesse cose: (algebra lineare classica) moduli su un anello (algebra lineare moderna) categorie abeliane (geometria d'incidenza sintetica moderna) reticoli modulari con 0 in cui gli elementi sono raddoppiabili: $\forall x\exists y,z$: $x\vee y=y\vee z=z\vee x$ & $x\wedge y=y\wedge z=z\wedge x=0.$
È matematicamente certo. Fate l’ipotesi che voi siate matematici e il vostro partner sia, per esempio, neurochirurgo. Vi presentate a cena, con un gruppo di nuovi amici. Fate quattro chiacchiere e dopo un po’ viene fuori che siete un ricercatore in matematica. Un attimo di sconcerto, sguardi di divertito stupore, e poi vi chiedono: «ma perché, cosa c'è da ricercare, in matematica?» Guardandosi tra loro, insistono: «non è già tutto scoperto?» E sicuramente almeno uno affermerà, con orgoglio: «io, la matematica, non l'ho mai capita!» Ma il peggio è che, mentre voi cercate di spiegare cosa mai giustifichi il vostro, peraltro misero, stipendio, i commensali scopriranno la professione del vostro partner. Fine dei vostri tre minuti di protagonismo: con sguardo stavolta sognante, il vicino di tavola si rivolgerà alla vostra metà, innanzi tutto convinto di essere in grado di intavolare una conversazione su argomenti di comune interesse, poi mentalmente calcolando il suo stipendio assolutamente rispettabile, per poi perdersi definitivamente dietro al fascino che il camice bianco evoca nella mente di chiunque. Voi scomparirete inesorabilmente, a far compagnia a ricordi tendenzialmente sgradevoli di numeri, equazioni, formule e simili inutilità. Insomma, nell'immaginario comune, il medico è un’attrazione, il matematico è un nerd. Sottili varianti si possono ottenere sostituendo a vostro piacimento "neurochirurgo" con “ingegnere elettronico", "magistrato", "architetto", "promotore finanziario", "biologo marino" e, addirittura, "fisico". C’è poco da fare, esiste un problema di rappresentazione della matematica e dei matematici nell’immaginario popolare, ed è un problema serio. In questo seminario ci proponiamo di chiarirne i termini, provando anche a esplorare possibili soluzioni. Purtroppo, anche alla fine di questa chiacchierata, non sarà ancora chiaro se queste esistano: in caso positivo, però, sappiamo già che certamente non saranno uniche!