Seminari del Dipartimento di Matematica

Seminario del 2021

Roberto Pagaria

Log-concavità del polinomio cromatico di grafi

nell'ambito della serie: TOPICS IN MATHEMATICS 2020/2021

algebra e geometria

Lo scopo del seminario è quello di esporre ad un vasto pubblico la recente dimostrazione della log-concavità di certi polinomi. Il polinomio cromatico di un grafo conta il numero di colorazioni possibili di un grafo. Negli anni '70 è stato congetturato che i suoi coefficienti $\omega_i$ formino una sequenza log-concava, cioè \[ \omega_i^2\geq \omega_{i-1}\omega_{i+1}.\] L'enunciato della congettura si può dare più in generale per i coefficienti del polinomio caratteristico di un matroide. Queste congetture sono state dimostrate rispettivamente nel 2012 e nel 2018. Le tecniche usate sono sorprendenti e proverò a darne un'idea: costruirò, tramite blow up, una varietà proiettiva e ne studierò l'anello di Chow (che coincide con la coomologia). Infine dal teorema di Hodge-Riemann segue banalmente la disuguaglianza cercata. Nel caso di matroidi la corrispettiva varietà non esiste, ma si può comunque definire un anello con le proprietà desiderate e dimostrare la log-concavità.