Elenco seminari del ciclo di seminari
“SEMINARI DI ALGEBRA E GEOMETRIA”

In this series of seminars, I will give a gentle introduction to the differential geometric and Lie algebraic aspects of supergravity. I will first recall the description of supergravity theories in terms of Tanaka structures (non-holonomic G-structures) on supermanifolds and elucidate their relationship with a class of Z-graded Lie superalgebras of depth two. I will then present some recent results, in collaboration with J. Figueroa-O'Farrill (University of Edinburgh), on supergravity backgrounds and the algebraic structure of Lie superalgebras generated by Killing spinors. In the last part, I will recall the correspondence between different kinds of 3-algebras that recently appeared in Chern-Simons theories and Z-graded Lie superalgebras. The most general case is open and involves (generalized) Kantor triple systems and Lie superalgebras of depth two.

In this series of seminars, I will give a gentle introduction to the differential geometric and Lie algebraic aspects of supergravity. I will first recall the description of supergravity theories in terms of Tanaka structures (non-holonomic G-structures) on supermanifolds and elucidate their relationship with a class of Z-graded Lie superalgebras g = g_{-2}+ g_{-1}+ g_0+g_1+g_2 of depth two. I will then present some recent results, in collaboration with J. Figueroa-O'Farrill (University of Edinburgh), on supergravity backgrounds and the algebraic structure of Lie superalgebras generated by Killing spinors. In the last part, I will recall the correspondence between different kinds of 3-algebras that recently appeared in Chern-Simons theories and Z-graded Lie superalgebras. The most general case is open and involves (generalized) Kantor triple systems and Lie superalgebras of depth two.

In this series of seminars, I will give a gentle introduction to the differential geometric and Lie algebraic aspects of supergravity. I will first recall the description of supergravity theories in terms of Tanaka structures (non-holonomic G-structures) on supermanifolds and elucidate their relationship with a class of Z-graded Lie superalgebras g = g_{-2}+ g_{-1} + g_0 +g_1+g_2 of depth two. I will then present some recent results, in collaboration with J. Figueroa-O'Farrill (University of Edinburgh), on supergravity backgrounds and the algebraic structure of Lie superalgebras generated by Killing spinors. In the last part, I will recall the correspondence between different kinds of 3-algebras that recently appeared in Chern-Simons theories and Z-graded Lie superalgebras. The most general case is open and involves (generalized) Kantor triple systems and Lie superalgebras of depth two.

In this series of seminars, I will give a gentle introduction to the differential geometric and Lie algebraic aspects of supergravity. I will first recall the description of supergravity theories in terms of Tanaka structures (non-holonomic G-structures) on supermanifolds and elucidate their relationship with a class of Z-graded Lie superalgebras g = g_{-2}+ g_{-1}+ g_0 +g_1 +g_2 of depth two. I will then present some recent results, in collaboration with J. Figueroa-O'Farrill (University of Edinburgh), on supergravity backgrounds and the algebraic structure of Lie superalgebras generated by Killing spinors. In the last part, I will recall the correspondence between different kinds of 3-algebras that recently appeared in Chern-Simons theories and Z-graded Lie superalgebras. The most general case is open and involves (generalized) Kantor triple systems and Lie superalgebras of depth two.

In this talk we will present some properties of group-graded algebras and its representations, studying several examples as Cayley Algebras and Clifford Algebras

Se W e' il gruppo di Weyl di un gruppo algebrico lineare semplice G, la corrispondenza di Springer fornisce una realizzazione geometrica delle sue rappresentazioni irriducibili e una loro parametrizzazione in termini di classi di coniugio degli elementi unipotenti di G (più dati ulteriori se il gruppo non è di tipo A). Tale parametrizzazione si basa su notevoli proprietà geometriche del cono nilpotente e di una sua desingolarizzazione naturale (la risoluzione di Springer). I seminari esporranno le linee principali di questa costruzione, esemplare in teoria geometrica delle rappresentazioni, seguendo un approccio dovuto principalmente a Kazhdan-Lusztig e Borho-Macpherson. Per semplicità ci concentreremo su gruppi di tipo A sul campo complesso.

La teoria delle rappresentazioni dei gruppi Kac-Moody e quella dei quiver aciclici presentano entrambe, nel caso generale, una struttura tripartita. Le rappresentazioni di un gruppo Kac-Moody G sono divise naturalmente in tre classi (peso più alto, peso più basso e livello zero) a seconda di come il centro di G agisce. Le rappresentazioni indecomponibili di un quiver Q sono preproiettive, postiniettive o regolari a seconda di dove sono collocate nel quiver di Auslander-Reiten associato a Q. In questo seminario illustreremo un modo per collegare queste due tripartizioni. Identificando l'anello delle funzioni regolari su un'opportuna cella doppia di Bruhat di G con un'algebra cluster mostreremo che le variabili cluster che vengono da Q-moduli preproiettivi (rispettivamente postiniettivi o regolari) possono essere interpretate come minori generalizzati associati a rappresentazioni di peso più alto (rispettivamente peso più basso o livello zero) di G. Non assumeremo nessuna conoscenza delle algebre cluster e solo minime nozioni di teoria delle rappresentazioni.

Se W e' il gruppo di Weyl di un gruppo algebrico lineare semplice G, la corrispondenza di Springer fornisce una realizzazione geometrica delle sue rappresentazioni irriducibili e una loro parametrizzazione in termini di classi di coniugio degli elementi unipotenti di G (più dati ulteriori se il gruppo non è di tipo A). Tale parametrizzazione si basa su notevoli proprietà geometriche del cono nilpotente e di una sua desingolarizzazione naturale (la risoluzione di Springer). I seminari esporranno le linee principali di questa costruzione, esemplare in teoria geometrica delle rappresentazioni, seguendo un approccio dovuto principalmente a Kazhdan-Lusztig e Borho-Macpherson. Per semplicità ci concentreremo su gruppi di tipo A sul campo complesso.

Sia g un'algebra di Lie semplice su un campo algebricamente chiuso di caratteristica zero K. h una sua sottoalgebra di Cartan. W il gruppo di Weyl. Un famoso teorema di Chevalley asserisce che l'anello K[g]^g e` un anello di polinomi e che la restrizione induce un isomorfismo fra tale anello e K[h]^W. Inoltre se V e` un g-modulo irriducibile e V_0 il suo spazio di peso nullo, si ha che sia i K[g]^g=K[h]^W-moduli Hom_{g}(V, K[g]) e Hom_W(V_0,K[h]) sono liberi di rango uguale alla dimensione di V_0. Essi non sono quasi mai isomorfi come moduli graduati. Nel seminario si discuteranno alcuni risultati (con Papi e Procesi) e congetture (dovute a Reeder) su cosa avvenga se si sostituisce K[g] con l'algebra esterna su g.

Se W e' il gruppo di Weyl di un gruppo algebrico lineare semplice G, la corrispondenza di Springer fornisce una realizzazione geometrica delle sue rappresentazioni irriducibili e una loro parametrizzazione in termini di classi di coniugio degli elementi unipotenti di G (più dati ulteriori se il gruppo non è di tipo A). Tale parametrizzazione si basa su notevoli proprietà geometriche del cono nilpotente e di una sua desingolarizzazione naturale (la risoluzione di Springer). I seminari esporranno le linee principali di questa costruzione, esemplare in teoria geometrica delle rappresentazioni, seguendo un approccio dovuto principalmente a Kazhdan-Lusztig e Borho-Macpherson. Per semplicità ci concentreremo su gruppi di tipo A sul campo complesso

Se W e' il gruppo di Weyl di un gruppo algebrico lineare semplice G, la corrispondenza di Springer fornisce una realizzazione geometrica delle sue rappresentazioni irriducibili e una loro parametrizzazione in termini di classi di coniugio degli elementi unipotenti di G (più dati ulteriori se il gruppo non è di tipo A). Tale parametrizzazione si basa su notevoli proprietà geometriche del cono nilpotente e di una sua desingolarizzazione naturale (la risoluzione di Springer). I seminari esporranno le linee principali di questa costruzione, esemplare in teoria geometrica delle rappresentazioni, seguendo un approccio dovuto principalmente a Kazhdan-Lusztig e Borho-Macpherson. Per semplicità ci concentreremo su gruppi di tipo A sul campo complesso

Se W e' il gruppo di Weyl di un gruppo algebrico lineare semplice G, la corrispondenza di Springer fornisce una realizzazione geometrica delle sue rappresentazioni irriducibili e una loro parametrizzazione in termini di classi di coniugio degli elementi unipotenti di G (più dati ulteriori se il gruppo non è di tipo A). Tale parametrizzazione si basa su notevoli proprietà geometriche del cono nilpotente e di una sua desingolarizzazione naturale (la risoluzione di Springer). I seminari esporranno le linee principali di questa costruzione, esemplare in teoria geometrica delle rappresentazioni, seguendo un approccio dovuto principalmente a Kazhdan-Lusztig e Borho-Macpherson. Per semplicità ci concentreremo su gruppi di tipo A sul campo complesso.

Se W e' il gruppo di Weyl di un gruppo algebrico lineare semplice G, la corrispondenza di Springer fornisce una realizzazione geometrica delle sue rappresentazioni irriducibili e una loro parametrizzazione in termini di classi di coniugio degli elementi unipotenti di G (più dati ulteriori se il gruppo non è di tipo A). Tale parametrizzazione si basa su notevoli proprietà geometriche del cono nilpotente e di una sua desingolarizzazione naturale (la risoluzione di Springer). I seminari esporranno le linee principali di questa costruzione, esemplare in teoria geometrica delle rappresentazioni, seguendo un approccio dovuto principalmente a Kazhdan-Lusztig e Borho-Macpherson. Per semplicità ci concentreremo su gruppi di tipo A sul campo complesso.

Lo spazio degli Oper regolari e` una famiglia di equazioni differenziali lineari in una variabile complessa t, dipendenti da un parametro x con una singolarita` in t=x, associati ad un gruppo compatto connesso G. Nel caso di G=SL(2) nel seminario verranno introdotte e studiate delle famiglie di equazioni differenziali dipendenti da due parametri x,y con singolarita` in t=x e t=y e che per x diverso da y sono oper regolari vicino a x e vicino a y e verra` determinato il tipo di equazioni che si ottiene per x=y. I risultati descritti sono parte di un progetto di ricerca in collaborazione con Giorgia Fortuna.