Archivio 2006
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seminari
La nozione di caos debole è associata ad un decadimento lento delle correlazioni, che si osserva ad esempio per le mappe che preservano l'area nella zona di transizione tra una regione quasi integrabile ed una caotica. Questo comportamento è rigorosamente riprodotto da un semplice modello basato sul collage di una mappa integrabile con una mescolante, se si considerano gli spettri delle ricorrenze di Poincaré. L'osservazione rilevante è che mentre per un sistema mescolante il decadimento è esponenziale, per un sistema integrabile anisocrono, il mescolamento locale dovuto alla filamentazione, determina un decadimento a potenza. In una regione di transizione si prova che lo spettro è una combinazione dei due. Il mescolamento locale implica una forte coerenza, evidenziata dal fenomeno di echo. L'accoppiamento con una componente caotica, modellata da un rumore di Wiener, ne provoca l'attenuazione fino alla scomparsa. In un contesto fisico il caos debole si manifesta nei sistemi ad N particelle con interazioni a lungo raggio, attraverso comportamenti coerenti, descritti da una teoria di campo medio su scale di tempo di ordine 1, ove domina la filamentazione, mentre gli effetti collisionali agiscono su scale di tempo di ordine N, conducendo all'equilibrio termodinamico. Il modello degli oscillatori Coulombiani è un prototipo esemplare, che descrive anche un sistema complesso qualora si introduca una condizione di cono per simulare la percezione visiva. Il carattere non newtoniano della interazione richiede tuttavia l'introduzione di una memoria perché si raggiungano stati di equilibrio a temperatura finita.
La controparte semiclassica naturale dello studio dei gruppi quantici e`
la teoria dei gruppi di Poisson, in quanto questi ultimi sono il limite
semiclassico dei primi.
Una situazione simile si presenta quando si considerino gli spazi omogenei.
In tal caso, un ruolo speciale e` svolto dai quozienti di Poisson: questi ultimi
sono gli spazi omogenei con una struttura di varieta` di Poissson ottenuta come
quoziente di una struttura di gruppo di Poisson sul gruppo che agisce su di essi;
in particolare, la loro foliazione simplettica ha almeno una foglia di dimensione
zero. Quando si considerano le quantizzazioni, uno spazio omogeneo di Poisson che
ne ammetta una risulta essere necessariamente un quoziente: pertanto, la nozione
di quoziente di Poisson si manifesta in modo naturale anche dal punto di vista
della quantizzazione.
I quozienti di Poisson sono una sottoclasse naturale dei G-spazi omogenei di Poisson,
(dove G e` un gruppo di Poisson), adattati al meglio alla consueta relazione tra
G-spazi omogenei e sottogruppi di G: essi corrispondono infatti ai sottogruppi
coisotropi. Il processo di quantizzazione per un G-quoziente di Poisson allora
corrisponde ad una procedura simile per il sottogruppo di G associato. Inoltre,
quando si segue un approccio infinitesimale si opera con sottoalgebre di Lie
dell'algebra di Lie, diciamo Lie(g), di G, e la condizione di coisotropia ha la
sua controparte naturale in questo contesto di algebre di Lie. Il processo di
quantizzazione allora dev'essere sviluppato per la sottoalgebra Lie che corrisponde
al G-spazio omogeneo di partenza.
Quando si quantizzano gruppi di Poisson (o bialgebre di Lie), uno strumento importante
e` il principio di dualita` quantico (QDP). In parole povere, esso afferma che ogni
algebra inviluppante quantizzata puo` essere trasformata in un'algebra di funzioni
quantizzata per il gruppo di Poisson duale; viceversa, ogni algebra di funzioni quantizzata
puo` essere trasformata in un'algebra inviluppante quantizzata per la bialgebra di Lie
duale. Cosi`, a partire da una quantizzazione di un qualsiasi gruppo di Poisson questo
principio fornisce (in modo funtoriale) una quantizzazione del gruppo di Poisson duale.
In questo seminario presentero` un analogo QDP per sottogruppi coisotropi di un gruppo
di Poisson G, o - equivalentemente - per G-quotienti di Poisson. Precisamente, presentero`
ricette esplicite per ottenere, a partire da una quantizzazione di K o di G/K, una
corrispondente quantizzazione del cosiddetto "duale complementare di K", cioe` quel
sottogruppo coisotropo K^perp di G^* la cui algebra di Lie tangente e` proprio
Lie(k)^perp - l'ortogonale di Lie(k) dentro Lie(g)^* - o anche una quantizzazione
del G^*-quoziente di Poisson associato, precisamente G^*/K^perp. Queste procedure
sono realmente operative, e consentono di costruire nuovi esempi espliciti di
quantizzazioni per importanti classi di quozienti di Poisson.
Tutto quanto presentero` e` frutto di una collaborazione (a diversi stadi) con Nicola
Ciccoli e Rita Fioresi.
Pi is a topic of abiding fascination that engages the interest of all mathematicians, pure and applied alike. We know, or think we know, that it was Archimedes who early calculated pi to considerable accuracy by bounding a circle inside and out by regular polygons. However, this program, with an explicit argument in the case of inscribed polygons, is already contained in Book XII of Euclid's Elements. Closer examination of the works of Euclid and of Archimedes suggests that everything you can do with inscribed and circumscribed polygons together can be done just as well with inscribed polygons alone. Moreover, it seems that the Chinese mathematician Liu Hui, working over seventeen hundred years ago, was able to improve the lower bound on the area of a circle by interpolation using only inscribed polygons. Perhaps even more surprisingly, whereas the combined work of Euclid and Archimedes shows that the difference between areas of circumscribed and inscribed polygons more than halves on doubling the number of sides of these polygons, an argument that would have been accessible to both of them, as well as to Liu Hui, shows that, in fact, it more than quarters. The talk is presented as an exercise in ''mathematics from history'', where we take the mathematics from a given period and see what (more) can be extracted by means of it alone. Thus, when we look back on this material from the later perspective of the calculus, we find that these geometric arguments remarkably powerful, giving results akin to Richardson-Romberg integration - the quartering inequality just mentioned is accurate up to the term in the sixth power of the reciprocal of the number of sides of the largest and smallest polygons. It seems that we - not just Archimedes - might have been missing something.
Negli ultimi anni nelle università e nei centri di ricerca domina un nuovo mito: quello della proprietà intellettuale. Più lItalia e lEuropa avvertono una situazione di svantaggio tecnologico rispetto ai paesi anglosassoni, più tendono a riprodurne le dinamiche. Così, cercano rapidamente di colmare i ritardi nel creare un regime di proprietà intellettuale. Le università si affannano a produrre brevetti, gli scienziati tentano di guadagnare vendendo quanto hanno inventato. Il rapporto tra università e impresa si va facendo sempre più vincolante, e la distinzione tra ricerca di base e ricerca applicata va sfumando.
Gli strumenti giuridici principali per regolare queste forme di mercificazione della conoscenza sono il brevetto e il copyright, che consentono ad autori e inventori di avere il monopolio esclusivo sulla propria invenzione o sulla propria opera. Lassunto indiscusso alla base dellentusiasmo per brevetti e copyright è che il monopolio della proprietà intellettuale favorisca il progresso scientifico. Per questo, si ritiene, le idee possono essere vendute.
Nellincontro che faremo, ricercatrici e ricercatori di Laser dimostreranno che non è affatto vero che alle idee fa bene essere vendute. Anzi, tratteranno del perchè il monopolio della proprietà intellettuale fa male alla scienza e al suo progresso. Il progresso scientifico si fonda sullo scambio e sulla condivisione delle conoscenze. Il brevetto impedisce di riprodurre e replicare i risultati altrui, limita pertanto la possibilità di progresso scientifico; il copyright impedisce la diffusione di opere creative, limita pertanto la possibilità di fruirne e trarne spunto.
A partire dallidea che la scienza è un bene comune ed è una risorsa illimitata, che il sapere se condiviso aumenta, ci illustreranno alcune alternative a questo modo di intendere la conoscenza come privatizzata e mercificata, dallidea dei Creative Commons allapplicazione di metodologie Open Source.
Il gruppo Laser (Laboratorio Autonomo di Scienza, Epistemologia e Ricerca) è un collettivo di ricercatori nato allinizio degli anni 90 dalle lotte studentesche della Sapienza di Roma.
www.e-laser.org